四元数は、発見された当初はあまり注目されませんでした。
しかし、現代では四元数を活用した方が計算がしやすい分野も出てきています。
とはいえ、物理系や工学系では、四元数に関する講義を行っているところは見かけません。
ゼミなどで学習する機会があるかもしれませんが、必ずしも学習する機会に恵まれるわけではありません。
ここでは、物理系や工学系におすすめの四元数の教科書を紹介します。
実数の世界なのにどうして複素数を学ぶの？
物理系・工学系の学部で学習する数の範囲は、複素数までが標準です。
しかし、例えば二つの物体の運動について考えるときは、複素数まで考える必要はなく、実数の運動方程式を立てて解くことで、解を得ることができます。
それにもかかわらず、複素数について学習し、複素数を使って物理現象の方程式を解くことすらしています。
これは、複素数を使った方が全体の見通しがよいからなのです。
例えばオイラーの公式（\(\theta\)は実数）
\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
は、指数関数 \(e\) と三角関数を結びつける公式です。
実数の世界では、指数関数と三角関数は全く別々の物だったのですが、複素数の世界では、指数関数と三角関数はお互いに書き換える事ができるのです。
オイラーの公式を使うことによって、微分方程式やフーリエ解析の扱いを簡単にするといったメリットがあります。
このメリットを使うためにも複素数で扱った方が便利なのです。
そのため、大学では複素関数などの複素数についての講義があるのです。
複素数でも扱いづらいことがある？！
高校の授業や大学の講義で、複素数を学習するときに出てくる「複素平面」。
\(z\)を複素数、\(x, y\)を実数としたときに、
\(z = x + iy \)
と表すことができ、このときの \(x\) と \(y\) を座標軸に表したものです。
\(x\) と \(y\) の二つの実数で、一つの複素数 \(z\) を表すことができることから、「平面」となっています。
つまり、２次元の世界なのです。
相対性理論のところで学習する内容ですが、時間と空間は独立したものではありません。
そのため、計算するときはそれぞれ別々に扱うよりも一緒に考える必要があります。
時間が1次元で空間が3次元なので、時間と空間合わせて４次元の世界で考える必要が出てくるのです。
ところで、複素数は変数が二つですから２次元の世界です。
となると、いくら見通しのよい複素数といえども、４次元の世界を扱うには少々不便になるのです。
複素数をさらに拡張した数が必要になってきます。
４次元を扱いやすい数は？
4次元は四つの変数で表すことができることから、用いる数も四つの変数があると扱いやすくなります。
しかし授業や講義では、自然数、有理数、整数、実数、複素数で成り立っていた
- 和の結合法則
- 積の結合法則
- 和の交換法則
- 積の交換法則
- 分配法則
の全てを満たす数は、複素数までしかないということを聞いたことがあるかもしれません。
実際、その通りです。
複素数までの拡張が上記五つの法則を全て満たすのです。
ですが、五つの法則全てを満たさなくてもよければ、数を拡張することができます。
それが、
四元数（しげんすう, quaternion）
です。
四元数は、積の交換法則が成り立ちません。
すなわち、任意の四元数 \(h_0, h_1\) に対して、その積である \(h_0h_1\) と \(h_1h_0\) は必ずしも同じ答えであるとは限らないのです。
逆に言えば、積の交換法則が成立するのは、特別な場合であると考えることができます。
すなわち、積の交換法則を犠牲にすれば、数を拡張することができるのです。
任意の四元数 \(x\) は実数 \(x_0, x_1, x_2, x_3\)と複素数 \(i\) と同じような記号 \(i, j, k\) を用いると、
\( x = x_0 + x_1i + x_2j + x_3k\)
という形で表せます。
四元数にすると一つの数を四つの変数で表すことができるので、4次元を扱うには便利な数なのです。
四元数が扱われている分野は？
複素数は平面上のベクトルとして物理学的な要望を満たしてきたとことから、物理系、工学系の学部では必ずと言ってもいいほど、複素数についての講義（複素関数）があります。
しかし、私たちの住んでいる世界は3次元の世界です。
となると、平面だけでは満足できない運動も存在します。
四元数は変数が四つあることから、空間のベクトルとかんがえることができます。
例えば、剛体の力学やローレンツ変換などは時間の1次元と空間の3次元をセットにした「ベクトル」として考えたほうが見通しがよくなります。
近年、コンピューター技術が発達し、マシーンの性能も格段に向上しました。
そこで「ベクトル」での計算が威力を発揮します。
このような事情から、N体問題などの数値計算や画像処理、信号処理といった物理系、工学系の分野でも四元数を用いることがでてきました。
特に3DCG（3次元コンピューターグラフィックス）の分野では四元数が使われています。
知らず知らずのうちに四元数の概念を用いて計算していたということもあるのです。
四元数のテキストを読む上での前提条件
四元数は積の交換法則が必ずしも成立しない数です。
この話、どこかで聞いたことありませんか？
学部の最初のほうに学習する線形代数の「行列」も積の交換法則が成立しないのです。
なんだか性質が似ていますね。
実は四元数は行列を使って計算すると、物理系や工学系で用いる式の形がスッキリすることが多いのです。
そのため、行列についての一通りの知識が必要となります。
また四元数は複素数の拡張ですから、複素数の性質についても知っている必要があります。
したがって、前提条件は、
- 行列（複素数の範囲）
- 複素数（複素関数）
が前提条件になります。
いろは 行列や複素数（複素関数）の分野は、院試でも出てくることが多いので、必ずマスターしましょう。
四元数は院試に出るの？
四元数についての講義がある大学はほとんどないと言ってもいいかもしれません。
そのためか、少なくても物理系や工学系の院試で出題されていた形跡はありません。
院試の試験勉強のためだけに、四元数を学ぶ必要はありません。
もし学ぶとするならば、院試よりも願書の提出や試験当日に提出する研究計画書に書く際のテーマで使う際になります。
学部の3，4年生で研究室に配属になり、そこで四元数を使うようであれば、学習しておきましょう。
もちろん、興味がありましたら、言われなくても学ぶのはありですよ。
おすすめの参考書
入門レベルのコンパクトな書籍
四元数は、各方面で活用されているものの、四元数について扱っている書籍というものはあまりありません。
しかし、3DCGで四元数が使われるようになったことから、2000年代に入り四元数に関する書籍がいくつか出版されるようになってきました。
この中で、演習問題をこなしながら四元数について学ぶことができる入門書が森北出版の「四元数」になります。
四元数は複素数を拡張した数ですので、複素数の性質を知っている必要があります。
この「四元数」の書籍では、複素数の性質を復習しつつ、四元数の性質について要点をついた解説を行っています。
そのため、複素数の性質と対比しながら四元数を学ぶことができるよう配慮されています。
また、簡単な演習問題と解答が本書におさめられていますので、四元数の性質を理解する上でも役にたつことでしょう。
ページ数が少ないながらも、初学者でも四元数の概要を理解するにはちょうどいい内容になっています。
内容は
- 四元数とは何か？
- 複素数の定義の性質
- 四元数の定義と性質
- 四元数の方程式
- 四元数行列
- 複素数と回転
- 四元数と回転
- 固有値問題
- （付録）四元数量子ウォーク
となっています。
特に四元数の1次方程式、2次方程式や左固有値、右固有値といった概念は木浦句出版の「四元数」で詳しく解説されています。
基本から応用までを盛り込んだ書籍
著者は1980年代から講義で四元数を用いて解説していました（天体力学講義 東京大学出版会）。
ただ、天体力学講義はあくまで天体力学に重点をおいている書籍であるため、四元数についての解説は当書籍だけで理解するのは大変難しい状態でした。
その著者が四元数の基本から幾何学、物理分野の応用までについて書き上げた書籍が「ハミルトンと四元数」という書籍です。
四元数そのものについても基本的な性質の解説にとどまらず、発見の歴史からベクトル代数やベクトル解析への応用、四元数の行列表記まで書かれています。
また応用面に関しても
- 平面幾何学
- 正多面体
- 平面三角法と球面三角法
- 質点系の力学（二体問題、三体問題）
- 剛体の力学
- 幾何光学
- ローレンツ変換
といった内容が解説されています。
応用面に関して解説されている書籍は、「ハミルトンと四元数」が一番多いと言えます。
ただし、「ハミルトンと四元数」では、他の書籍ではあまりなじみのないハミルトンの記法で記されているので、まえがきの部分から飛ばさず読み進め、どのような規則になっているのかを理解しながら読む必要があることに留意してください。
※もし四元数を用いた天体力学に興味がありましたら、この「ハミルトンと四元数」を読んだ後、同じ著者の「天体力学講義 （東京大学出版会）」で学習するといいでしょう。
